《对面积的曲面积分基本计算方法及其应用》内容小结、题型与典型题

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一、对面积的曲面积分几何意义与物理意义

1、对面积的曲面积分的几何意义

当f(x,y,z)=1时，对面积的曲面积分等于积分曲面片∑的面积.

2、对面积的曲面积分的物理意义

当f(x,y,z)>0时，对面积的曲面积分等于面密度为f(x,y,z)的积分曲面片∑的质量。

【注】对面积的曲面积分具有与三重积分相同的积分性质，包括“偶倍奇零”的计算性质和“轮换对称性”。

二、对面积的曲面积分基本计算方法与思路

第一步：被积函数定义在积分曲面上。考虑借助描述积分曲面的方程简化、或者变换对面积的曲面积分的被积函数，即可以将描述积分曲面的等式代入被积函数，简化、转换被积函数。

第二步：考察积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，考察积分曲面图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”。在图形具有对称性，被积函数具有奇偶性条件下，借助“偶倍奇零”和轮换被积表达式变量化简、转换需要计算的积分模型. 如果积分曲面整体不具有对称性，则可以考虑将其进行分割，看是否部分具有对称性；如果被积函数整体不具有奇偶性，则可以考虑借助线性运算性质，将被积函数通过加减运算拆分，分割成几个积分，分别考虑考察被积函数的奇偶性来简化、转换积分模型。

第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分，写出简单曲面的函数表达式。使用定义法直接计算对面积的曲面积分，积分曲面必须要求为简单类型的曲面。即要求将积分曲面转换为能够直接用二元函数z=z(x,y)或y=y(z,x)或x=x(y,z)来描述的曲面片. 如果不能，则考虑将曲面进行分割，将其分割成为这样一些简单曲面的并；然后借助于积分对积分曲面的可加性，将各简单曲面上的积分求和得到最终的积分结果.

第四步：转换曲面微元为投影微元描述。对于简单积分曲面片，将曲面的面积元素，用二元函数变量确定的坐标平面上的面积元素来描述. 即借助于积分的元素法，将曲面片近似为切平面片，有

● 简单XY-型曲面z=z(x,y)：

其中γ为曲面z=z(x,y)在(x,y,z)处切平面的法向量与z轴的夹角.

● 简单YZ-型曲面x=x(y,z)：

其中α为曲面x=x(y,z)在(x,y,z)处切平面的法向量与x轴的夹角.

● 简单ZX-型曲面y=y(z,x)：

其中β为曲面y=y(z,x)在(x,y,z)处切平面的法向量与y轴的夹角.

第五步：转换积分模型为二重积分模型。将被积表达式中的dS和被积函数中的函数变量，分别用上面计算得到的表达式和用描述积分曲面的二元函数替换，并将积分曲面替换为积分曲面在对应坐标面上的投影区域，将对面积的曲面积分转换为二重积分，即有

 第六步：选择合适的坐标系计算二重积分.

【注1】如果积分曲面不为简单类型，可以将其分割成几种不同类型的简单曲面，然后分别利用以上步骤计算对面积的曲面积分，最终结果为所有积分曲面片上的对面积的曲面积分之和.

【注2】对面积的曲面积分的应用模型与重积分结构基本一致，只要将积分范围更改为积分曲面，将体积微元dV，或平面面积微元dσ替换为曲面的面积微元dS即可. 具体应用实例参见下面给出的课件列表！

参考课件节选：

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